← คลังสื่อ ครูบิว
บทที่5

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ดึงตัวร่วม · ax²+bx+c · กำลังสองสมบูรณ์ · ผลต่างของกำลังสอง · มาตรฐาน ค 1.2 ม.2/2

สรุปใน 10 วิ

แยกตัวประกอบ = เขียนพหุนามเป็นผลคูณ (ย้อนกลับของการกระจาย) · ขั้นแรกเสมอ: ดึงตัวร่วม · แล้วดูรูป: A² − B² → (A+B)(A−B) · A² ± 2AB + B² → (A ± B)² · x² + bx + c → หา 2 จำนวน คูณได้ c บวกได้ b

1สูตรติดฝาบ้าน

x(x + 3) ⇄ x2 + 3x→ กระจาย  ·  ← แยกตัวประกอบ
ตัวร่วมma + mb = m(a + b)
ทั่วไปx2 + (m+n)x + mn = (x + m)(x + n)
กำลังสองสมบูรณ์A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2
ผลต่างกำลังสองA2 − B2 = (A + B)(A − B)
ตรวจคำตอบเองได้

คูณวงเล็บกลับ (กระจาย) แล้วต้องได้โจทย์เดิม ✔

2เลือกวิธีให้ถูก

ลองเล่นแตะโจทย์ แล้วดูเส้นทางคิด
① มีตัวร่วมทุกพจน์ไหม? → ถ้ามี ดึงออกก่อน
↓
② นับจำนวนพจน์
↓
2 พจน์ (ลบกัน)
↓
ผลต่างกำลังสอง
(A + B)(A − B)
3 พจน์
↓
หน้า² หลัง² กลาง = 2AB?
→ (A ± B)²
↓ ไม่ใช่
ax² + bx + c
หาคู่ตัวเลข
4 พจน์
↓
จับกลุ่ม 2–2
แล้วดึงตัวร่วม
เลือกโจทย์ด้านบน

3ดึงตัวร่วม (สมบัติการแจกแจง)

ตัวร่วม = ห.ร.ม. ของตัวเลข × ตัวแปรที่มีทุกพจน์ (ยกกำลังน้อยสุด)

โจทย์ตัวร่วมคำตอบ
10y − 422(5y − 2)
15x2y2 − 21xy3xy3xy(5xy − 7)
8xy + 10xy22xy2xy(4 + 5y)
24y3z4 + 30y3z36y3z36y3z3(4z + 5)
6a(b + 2) + 8(b + 2)(b + 2)(b + 2)(6a + 8) = 2(b + 2)(3a + 4)
ระวังพลาด

ดึงออกหมดทั้งพจน์ ต้องเหลือ 1 ไม่ใช่ 0:  5m2 + 5m = 5m(m + 1)

มีเครื่องหมายลบนำหน้า ดึง −1 ออกได้: −4z2 − 8z = −4z(z + 2)

4 พจน์ → จับกลุ่ม

24x3y − 18xy2 + 36x2 − 27y
= 6xy(4x2 − 3y) + 9(4x2 − 3y) = 3(2xy + 3)(4x2 − 3y)

4x² + bx + c : หาคู่ตัวเลข

หา m, n ที่ m × n = c และ m + n = bแล้วตอบ (x + m)(x + n)
ลองเล่น
กฎเครื่องหมาย

c บวก → m, n เครื่องหมายเหมือนกัน (เหมือน b) · c ลบ → m, n ต่างเครื่องหมาย ตัวที่ใหญ่กว่าตามเครื่องหมาย b

5ax² + bx + c (a ≠ 1) : แยกพจน์กลาง

  1. คูณ a × c
  2. หาคู่ตัวเลขที่ คูณได้ ac และ บวกได้ b
  3. แยกพจน์กลาง bx ออกเป็น 2 พจน์ตามคู่นั้น
  4. จับกลุ่ม 2–2 แล้วดึงตัวร่วม
หรือใช้ “คูณไขว้” ตรวจ
5x−3x+2

5x · 2 + x · (−3) = 10x − 3x = 7x = พจน์กลาง ✔  → (5x − 3)(x + 2)

ระวังพลาด

สัมประสิทธิ์มีตัวร่วม ให้ดึงออกก่อน เช่น 6m2 − 10m − 4 = 2(3m2 − 5m − 2) · a เป็นลบ ให้ดึง −1 ออกก่อน

ดูทีละขั้น

6กำลังสองสมบูรณ์

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 − 2AB + B2 = (A − B)2“หน้า² ± 2·หน้า·หลัง + หลัง²”
A²ABABB² ABAB

สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน (A + B) = A² + AB + AB + B² → พจน์กลางจึงเป็น 2AB

ดูออกว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์

① พจน์หน้าและหลังเป็นกำลังสอง (หลังต้องบวก)  ② พจน์กลาง = 2 × √หน้า × √หลัง

แยกตัวประกอบ
x2 + 18x + 81 = x2 + 2(x)(9) + 92 = (x + 9)2
4z2 − 12z + 9 = (2z)2 − 2(2z)(3) + 32 = (2z − 3)2
(x + 2)2 + 6(x + 2) + 9 → ให้ A = x + 2 → A2 + 2(A)(3) + 32 = (A + 3)2 = (x + 5)2
16x2 − 48x + 36 = 4(4x2 − 12x + 9) = 4(2x − 3)2 (ดึง 4 ก่อนจะง่ายกว่า)

7ผลต่างของกำลังสอง

A2 − B2 = (A + B)(A − B)“ผลบวก × ผลต่าง”
ดูว่าทำไม
  1. ตัดสี่เหลี่ยมเล็ก B² ออกจาก A²
  2. ส่วนที่เหลือ ตัดเป็น 2 ชิ้น
  3. ย้ายชิ้นล่างไปต่อด้านขวา → กว้าง (A − B) ยาว (A + B)
แยกตัวประกอบ
36x2 − 121 = (6x)2 − 112 = (6x + 11)(6x − 11)
25x2 − 100 = 25(x2 − 4) = 25(x + 2)(x − 2)
(x + 8)2 − (x + 5)2 = [(x+8) + (x+5)][(x+8) − (x+5)] = 3(2x + 13)
16(x + 5)2 − 25x2 = [4(x+5)]2 − (5x)2 = (9x + 20)(20 − x)
ใช้จริง: วงกลมรัศมี 85 กับ 65 พื้นที่ต่างกัน π(852 − 652) = π(150)(20) ≈ 3.14 × 3,000 = 9,420 ตร.หน่วย
ระวังพลาด

A2 + B2 แยกแบบนี้ไม่ได้ · (x − 3)2 ≠ x2 − 9

8เช็กความเข้าใจ (แตะการ์ดเพื่อดูเฉลย)

ข้อ 1แตะดูเฉลย22y2z − 11yz
11yz(2y − 1)
ข้อ 2แตะดูเฉลย−3x + x2
x(x − 3) · ตรวจ: x · x − x · 3 = x² − 3x ✔
ข้อ 3แตะดูเฉลยx2 − 11x + 30
(x − 5)(x − 6) · (−5)(−6) = 30, −5 + (−6) = −11
ข้อ 4แตะดูเฉลย4x2 + 20x + 25
(2x + 5)2 · 20x = 2(2x)(5)
ข้อ 5แตะดูเฉลย144x2 − 121
(12x + 11)(12x − 11)
ข้อ 6แตะดูเฉลย9x2 − 81
9(x + 3)(x − 3) · ดึง 9 ก่อน: 9(x² − 9)

สรุปจากใบงานคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 (ฉบับเฉลย) · กดปุ่มในกล่อง “ลองเล่น” เพื่อดูภาพเคลื่อนไหว · กด “พิมพ์ A4” เพื่อพิมพ์แจก