สรุปใน 10 วิ
ถ้า (เหตุ) แล้ว (ผล) จริง = เหตุจริงเมื่อไรผลต้องจริงเสมอ · บทกลับ = สลับเหตุกับผล (อาจจริงหรือไม่ก็ได้) · จริงทั้งคู่ → เขียนรวมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” · พิสูจน์ = ข้อความ + เหตุผล ทุกบรรทัด · การสร้างใช้แค่ วงเวียน + สันตรง
1ประโยคมีเงื่อนไข & บทกลับ
ถ้า p แล้ว qp = เหตุ (ตามหลัง “ถ้า”) · q = ผล (ตามหลัง “แล้ว”)
- เป็นจริง เมื่อ เหตุเป็นจริงแล้วผลเป็นจริงเสมอ
- ไม่เป็นจริง เมื่อหาตัวอย่างค้านได้แค่ 1 ตัว (เหตุจริง แต่ผลไม่จริง)
บทกลับ: ถ้า q แล้ว pสลับเหตุกับผล
- ประโยคจริง ≠ บทกลับจริง (ต้องตรวจใหม่ทุกครั้ง)
- ถ้าจริงทั้งคู่ → เขียนรวมเป็น “p ก็ต่อเมื่อ q”
ทริคจำ
“หน้าจั่วไม่จำเป็นต้องด้านเท่า” คือตัวอย่างคลาสสิก: ด้านเท่า ⇒ หน้าจั่ว (จริง) แต่ หน้าจั่ว ⇒ ด้านเท่า (ไม่จริง)
2การสร้าง + ให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้าง
ใช้แค่ วงเวียน (กางระยะ/เขียนส่วนโค้ง) และ สันตรง (ลากเส้น ไม่ใช้วัดความยาว)
การสร้างพื้นฐาน (ทวน ม.1)
- สร้างส่วนของเส้นตรงยาวเท่าที่กำหนด
- แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง
- สร้างมุมให้เท่ามุมที่กำหนด
- แบ่งครึ่งมุม
- สร้างเส้นตั้งฉาก (จากจุดบนเส้น / นอกเส้น)
เหตุผลหลักของการสร้าง
“รัศมีของวงกลมเดียวกัน (หรือวงที่กางเท่ากัน) ยาวเท่ากัน” → ใช้พิสูจน์ด้านเท่าได้แทบทุกข้อ
โจทย์สร้างเส้นขนาน
สร้างมุมแย้งให้เท่ากัน แล้วอ้างทฤษฎีบท “มุมแย้งเท่ากัน ⇒ ขนาน”
ดูแล้วทำตาม
3เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม
เครื่องมือที่ใช้บ่อย:
- มุมภายในรวม 180° · มุมภายนอก = ผลบวกมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด
- หน้าจั่ว: มุมที่ฐานเท่ากัน
- 5 แบบของ ≅ (ด.ม.ด. ม.ด.ม. ด.ด.ด. ม.ม.ด. ฉ.ด.ด.)
- ทฤษฎีบทพีทาโกรัส c² = a² + b²
ABCD เป็นรูปว่าว เส้นทแยงมุมตัดกันที่ E มี AB = 5 ซม., BD = 12 ซม., DE = 8 ซม. จงแสดงว่า AE = EC และหาพื้นที่
AEB = CEB = 90° — เส้นทแยงมุมของรูปว่าวตั้งฉากกัน
BE = BE — ด้านร่วม · AB = CB — ด้านประชิดของรูปว่าวยาวเท่ากัน
△AEB ≅ △CEB (ฉ.ด.ด.) → AE = EC
BE = 12 − 8 = 4 → AE² = 5² − 4² = 9 → AE = 3 → AC = 6 — พีทาโกรัส
พื้นที่ = ½ × AC × BD = ½ × 6 × 12 = 36 ตร.ซม. ✔
4เขียนพิสูจน์ให้ได้คะแนนเต็ม
- เขียน กำหนดให้ และ ต้องการพิสูจน์ ให้ชัด
- วาดรูป ใส่สัญลักษณ์สิ่งที่เท่ากัน (ขีด / ส่วนโค้ง / มุมฉาก)
- ทุกบรรทัดต้องมี เหตุผล ที่เป็นบทนิยาม สมบัติ หรือทฤษฎีบทที่เรียนแล้ว
- บรรทัดสุดท้ายต้องตรงกับสิ่งที่ต้องการพิสูจน์
LV และ OE แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่ S จงพิสูจน์ว่า LOVE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
LS = VS และ ES = OS — เส้นทแยงแบ่งครึ่งกันที่ S
LSE = VSO — มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน
△LSE ≅ △VSO (ด.ม.ด.) → LE = VO และ SLE = SVO
มุมแย้งเท่ากัน → LE // VO
ด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานและยาวเท่ากัน → LOVE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ✔
5สมบัติรูปสี่เหลี่ยม (ใช้เป็นเหตุผลได้เลย)
แตะชื่อรูป
พิสูจน์ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใช้ข้อใดข้อหนึ่ง
① ด้านตรงข้ามขนานกัน 2 คู่ ② ด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน 2 คู่ ③ ด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานและยาวเท่ากัน ④ เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ⑤ มุมตรงข้ามเท่ากัน 2 คู่
| สมบัติ | ด้านขนาน | ผืนผ้า | ขนมเปียกปูน | จัตุรัส | ว่าว | คางหมู |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ด้านตรงข้ามขนานกัน | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | 1 คู่ |
| ด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ด้านประชิด เท่ากัน 2 คู่ | ✗ |
| ด้านยาวเท่ากันทุกด้าน | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ |
| มุมตรงข้ามเท่ากัน | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | 1 คู่ | ✗ |
| ทุกมุม 90° | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ |
| เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งกัน | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | เส้นเดียว | ✗ |
| เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | เฉพาะหน้าจั่ว |
| เส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ |
| พื้นที่ | ฐาน × สูง | กว้าง × ยาว | ½ × d₁ × d₂ | ด้าน × ด้าน | ½ × d₁ × d₂ | ½ × (ผลบวกด้านคู่ขนาน) × สูง |
6เช็กความเข้าใจ (แตะการ์ดเพื่อดูเฉลย)
ข้อ 1แตะดูเฉลย“ถ้า a เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว a เป็นจำนวนคี่” จริงหรือไม่
ไม่จริง · ตัวอย่างค้าน a = 2 เป็นจำนวนเฉพาะแต่เป็นจำนวนคู่
ข้อ 2แตะดูเฉลยบทกลับของ “ถ้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วด้านยาวเท่ากันสี่ด้าน” จริงไหม
ไม่จริง · ด้านเท่ากันสี่ด้านอาจเป็นขนมเปียกปูน
ข้อ 3แตะดูเฉลยประโยคคู่ใดเขียนรวมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” ได้: △ มุมฉาก ⟷ มีมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก
ได้ · จริงทั้งประโยคและบทกลับ
ข้อ 4แตะดูเฉลย△WYZ และ △XYZ เป็นหน้าจั่วที่มีฐาน YZ ร่วมกัน ลาก WX แล้ว △WYX ≅ △WZX หรือไม่
ใช่ (ด.ด.ด.) · WY = WZ, XY = XZ (ด้านประกอบมุมยอด) และ WX เป็นด้านร่วม
ข้อ 5แตะดูเฉลยABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน E, F เป็นจุดกึ่งกลาง AD, BC ทำไม AFCE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
AE // CF และ AE = CF · ด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานและยาวเท่ากัน
ข้อ 6แตะดูเฉลยเส้นทแยงมุมของรูปว่าวตัดกันแบบใด
ตั้งฉากกัน และเส้นหนึ่งแบ่งครึ่งอีกเส้น